Gioco matematico (difficile)!!

[Loooop]

Uno studente sottopone al prof. Somma ed al prof. Prodotto il seguente quesito: "Ho pensato a due numeri interi compresi tra 2 e 100 (possono anche essere uguali) e ho scritto la loro somma su questo foglio".
Lo studente dà il foglio al prof. Somma senza che l'altro professore lo veda.
"Il loro prodotto è su quest'altro foglio". Lo studente dà quest'altro foglio al prof. Prodotto senza che il prof. Somma lo veda.
Ed infine domanda: "Sapete dirmi quali sono i due numeri che ho pensato?"

Prof. Prodotto: "Non sono in grado di determinarli".
Prof. Somma: "Lo sapevo che tu non eri in grado di determinarli!".
Prof. Prodotto: "Beh, se dici così, allora io so che numeri sono!".
Prof. Somma: "Ora lo so anche io!".

Quali sono i due numeri?

P.S. Il gioco non è per nulla elementare. :wacko::wacko::wacko:
Se lo risolvete in 10 minuti, vuol dire che avete sbagliato (:wink_:), oppure che avete trovato la soluzione da qualche parte (:ph34r:).

Riepilogando:

i due numeri sono interi compresi fra 2 e 100;
il professor Somma conosce la loro somma, ma non il prodotto;
il professor Prodotto conosce il loro prodotto, ma non la somma;

Sulla base del dialogo che si svolge fra i due professori, è possibile determinare l'unica coppia di numeri possibile!

Buon divertimento!!!
:coool:

[giorgio bona]

e' uno sbattimento assurdo....:cry:

[Loooop]

e' uno sbattimento assurdo....:cry:

Già! Ma la soluzione, ovviamente, non è provare ogni coppia possibile (sono 4950…).
Lo conosci?

[Muttley]

allora sicuramente sono 2 numeri pari o 2 numeri dispari ....per ora ...ci ragiono ancora


no! ho scritto una caxxata

[Loooop]

allora sicuramente sono 2 numeri pari o 2 numeri dispari

Non ci farei troppo affidamento… :biggrin3:

[krupica]

allora sicuramente sono 2 numeri pari o 2 numeri dispari ....per ora ...ci ragiono ancora


no! ho scritto una caxxata

Per lo meno te ne sei accorto da solo.

[TRInicco]

un ottimo motivo per distogliermi definitivamente dall'economia delle pmi... >_>

[Muttley]

secondo me non esiste una soluzione unica quindi e' impossibile che i 2 prof conoscano con esattezza i 2 numeri

[Loooop]

secondo me non esiste una soluzione unica quindi e' impossibile che i 2 prof conoscano con esattezza i 2 numeri

No. Ognuna delle frasi consente di eliminare un certo numero di coppie (specialmente la seconda). Alla fine ne resta solo una (come Highlander…:wink_:)!

[Uzz]

ragazzi... sto facendo ora matrici, disequazioni, determinati e non ci sto più dentro....


Questo gioco è per chi ha smesso ormai di studiare la matematica... :sick:

Io mollo!!! :cry: Ne ho abbastanza della mia

[TRInicco]

io credo di essere giunto all'idea che si tratti di numeri primi, ma nessuna delle frasi mi permette di stabilire (stando alle mie limitatissime conoscenze) quali di essi scartare.

[Loooop]

io credo di essere giunto all'idea che si tratti di numeri primi, ma nessuna delle frasi mi permette di stabilire (stando alle mie limitatissime conoscenze) quali di essi scartare.

Se fossero due numeri primi, il loro prodotto sarebbe unico, ed il prof. Prodotto direbbe immediatamente di sapere qual'è la coppia dei numeri.
Ad esempio, se il prof. Prodotto leggesse 21, potrebbe subito dire che la coppia è 3 e 7 perchè nessun altra coppia di numeri ha 21 come prodotto.
Invece la prima cosa che dice è di non essere in grado di determinarli, e questo ti consente proprio di scartare tutte le coppie di numeri primi (e non solo quelle…).

[sem13]

2 e 3

4 e 5

ah dite che devo ragionare in silenzio?

ah dite che devo ragionare in silenzio?

[Uzz]

2 e 3

4 e 5

ah dite che devo ragionare in silenzio?

ah dite che devo ragionare in silenzio?

Stè... fai un bel lavoro... no spremerle troppe le meningi che poi GRIPPI :D

[Loooop]

2 e 3

4 e 5


No…



ah dite che devo ragionare in silenzio?

ah dite che devo ragionare in silenzio?

Ovviamente, non basta postare la coppia giusta di numeri. Occorre tutto il ragionamento! :wink_:

[Misha84]

mi sento una chiavica..

allora, a me viene spontaneo trovare uno solo dei parametri, In base al fatto che
S= x+y
P=xy
quindi
x=S-y=P/y --> -y= P/y -S --> y = S-P/y --> y = (Sy-P)/y --> y^2= Sy-p --> y=(Sy-P)^1/2
ho concluso una mazza, il pratica uno dei parametri è la radice quadrata della differenza tra la somma moltiplicata per il parametro stesso e il prodotto.. spero di essere d'aiuto a qualcuno, penso si possa procedere con i numeri irrazionali, ma purtroppo non me li ricordo..

[paolinux]

la soluzione è:




































4 e 13











il perchè? ahahahahahqahaahahahaahha

[Loooop]

mi sento una chiavica..

allora, a me viene spontaneo trovare uno solo dei parametri, In base al fatto che
S= x+y
P=xy
quindi
x=S-y=P/y --> -y= P/y -S --> y = S-P/y --> y = (Sy-P)/y --> y^2= Sy-p --> y=(Sy-P)^1/2
ho concluso una mazza, il pratica uno dei parametri è la radice quadrata della differenza tra la somma moltiplicata per il parametro stesso e il prodotto.. spero di essere d'aiuto a qualcuno, penso si possa procedere con i numeri irrazionali, ma purtroppo non me li ricordo..

Equazioni e irrazionali non servono.
Deduzioni logiche e qualche proprietà relativa ai numeri primi.
L'unica forse non tanto ovvia, che servirà ad un certo punto, è la congettura di Goldbach:
"Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi."
(ovviamente, essendo le somme non superiori a 200, non è affatto una congettura, ma è semplicemente vera…)



la soluzione è:
4 e 13
il perchè? ahahahahahqahaahahahaahha

Ok, la soluzione è quella, ma ci vuole il perchè…
Lascia "giocare" gli altri, se la conosci. Se invece l'hai ricavata tu oggi, bene, posta la "dimostrazione"… :wink_:

[sem13]

lo sapevo il 13 c'entra sempre!!!

[giorgio bona]

Già! Ma la soluzione, ovviamente, non è provare ogni coppia possibile (sono 4950…).
Lo conosci?

no non conosco ...e lo voglio evitare!!!!!
e non voglio nemmeno dire quante volte ho provato l'esame d'analisi.....:cry::cry::cry:

[Loooop]

e non voglio nemmeno dire quante volte ho provato l'esame d'analisi.....:cry::cry::cry:

uuu… analisi I e analisi II, 21 e 20 anni fa, precisamente… :coool:

[WaLLeR™]

è possibile sapere la soluzione? o dimostrazione che sia..

[Loooop]

è possibile sapere la soluzione? o dimostrazione che sia..

La soluzione è stata già detta: 4 e 13.
La dimostrazione… beh… già vi arrendete? :wink_:

[WaLLeR™]

ho preso da poco il monitor nuovo e non vorrei tirarci delle gran craniate su...:chair::angry::tongue:

[giampippi]

Ecco il ragionamento che segue alla frase del prof. Somma: "Lo sapevo che tu non eri in grado di determinarli!"

Se la somma S nota al prof. Somma è esprimibile come somma di due numeri primi, è evidente che il prof. Somma non avrebbe potuto dire così, in quanto se la coppia fosse proprio la coppia di quei numeri primi, il prof. Prodotto avrebbe dato subito la risposta. Ad esempio, supponiamo che la somma letta dal prof. Somma sia 18; allora le coppie possibili sono:

2 16
3 15
4 14
5 13 <---- (due numeri primi)
6 12
7 11
8 10
9 9

Ma fra queste c'è però la coppia 5 13, costituita da due numeri primi. Il prof. Somma, leggendo 18 non può essere sicuro che il prof. Prodotto non è in grado di determinare i due numeri, perché se essi fossero proprio 5 e 13, il prof. Prodotto, leggendo 65, avrebbe subito detto che la coppia di numeri è proprio 5 e 13 in quanto non esiste altra coppia di numeri il cui prodotto è 65.
Vanno pertanto scartate tutte le somme esprimibili come somma di due numeri primi (ovviamenti compresi fra 2 e 100).

In primis, ogni numero pari può essere espresso come somma di due numeri primi, pertanto tutte le somme pari vanno scartate.



Il resto ve lo copio-incollo domani! :biggrin3::biggrin3:

[Loooop]

Ecco il ragionamento che segue alla frase del prof. Somma: "Lo sapevo che tu non eri in grado di determinarli!"

Se la somma S nota al prof. Somma è esprimibile come somma di due numeri primi, è evidente che il prof. Somma non avrebbe potuto dire così, in quanto se la coppia fosse proprio la coppia di quei numeri primi, il prof. Prodotto avrebbe dato subito la risposta. Ad esempio, supponiamo che la somma letta dal prof. Somma sia 18; allora le coppie possibili sono:

2 16
3 15
4 14
5 13 <---- (due numeri primi)
6 12
7 11
8 10
9 9

Ma fra queste c'è però la coppia 5 13, costituita da due numeri primi. Il prof. Somma, leggendo 18 non può essere sicuro che il prof. Prodotto non è in grado di determinare i due numeri, perché se essi fossero proprio 5 e 13, il prof. Prodotto, leggendo 65, avrebbe subito detto che la coppia di numeri è proprio 5 e 13 in quanto non esiste altra coppia di numeri il cui prodotto è 65.
Vanno pertanto scartate tutte le somme esprimibili come somma di due numeri primi (ovviamenti compresi fra 2 e 100).

In primis, ogni numero pari può essere espresso come somma di due numeri primi, pertanto tutte le somme pari vanno scartate.



Il resto ve lo copio-incollo domani! :biggrin3::biggrin3:

Caro giampippi, quello che hai postato coincide parola per parola e numero per numero (fra l'altro, l'esempio proprio con S=18 quando qualsiasi altra somma andava bene…) con uno stralcio della soluzione completa che io ho personalmente scritto e che non ho mai postato in internet… (ma che ho inviato, in pdf, a due o tre amici).

Premesso che sarebbe stato meglio arrivarci da solo piuttosto che copiarla lettera per lettera da qualche altra parte (non è che si vince qualcosa…), la domanda è: come cavolo l'hai avuta? :blink::blink::blink:

[WaLLeR™]

aaaaaaaaarrgggghhhhhhhhhhh!!!!!!!! noooooooooooo:piango_a_dirotto:
però quel copio-incollo mi fa pensare non poco...:cipenso:

[giampippi]

Caro giampippi, quello che hai postato coincide parola per parola e numero per numero (fra l'altro, l'esempio proprio con S=18 quando qualsiasi altra somma andava bene…) con uno stralcio della soluzione completa che io ho personalmente scritto e che non ho mai postato in internet… (ma che ho inviato, in pdf, a due o tre amici).

Premesso che sarebbe stato meglio arrivarci da solo piuttosto che copiarla lettera per lettera da qualche altra parte (non è che si vince qualcosa…), la domanda è: come cavolo l'hai avuta? :blink::blink::blink:

Ma come, non sai ke i moderatori hanno dei poteri occulti??? :biggrin3:

Guarda Looop, magari non lo ricordi, ma questo thread lo hai proposto pure in focus.it! Non volevo rovinare assolutamente il tuo giochino, infatti ho postato solo una parte della soluzione, ma visto che sostieni di averlo inviato solo a qualche amico in pdf ti linko pure la discussione! :wink_:

Focus.it - I professori… (http://www.focus.it/Community/cs/forums/1/149638/ShowThread.aspx)

[Loooop]

Ma come, non sai ke i moderatori hanno dei poteri occulti??? :biggrin3:

Guarda Looop, magari non lo ricordi, ma questo thread lo hai proposto pure in focus.it! Non volevo rovinare assolutamente il tuo giochino, infatti ho postato solo una parte della soluzione, ma visto che sostieni di averlo inviato solo a qualche amico in pdf ti linko pure la discussione! :wink_:

Focus.it - I professori… (http://www.focus.it/Community/cs/forums/1/149638/ShowThread.aspx)

Hai ragione, l'avevo completamente dimenticato… però non avresti dovuto fare il biricchino e cercare altrove… ;)

Ecco la soluzione completa, come l'ho determinata io, nelle seguenti immagini. Il consiglio è scaricarle e stamparle…
Probabilmente ci sono altre strade: nel forum di focus, giu73 aveva trovato una seconda strada per risolvere l'ultima parte, ad esempio.

Pagina 1:
http://img103.imageshack.us/img103/7803/page01su8.th.png (http://img103.imageshack.us/my.php?image=page01su8.png)

Pagina 2:
http://img301.imageshack.us/img301/4605/page02ci1.th.png (http://img301.imageshack.us/my.php?image=page02ci1.png)

[paolinux]

OK TOCCA A ME ...

1) Il professor prodotto non riesce a determinare la soluzione. Cosa ne deduciamo? Sicuramente i due numeri non sono primi, altrimenti li avrebbe individuati (ricordiamo che il numero 1 non è ammissibile per il problema). Inoltre nella scomposizione in fattori primi del prodotto (scomposizione formata quindi da almeno tre termini) non ci possono essere numeri primi maggiori di 50 (il più piccolo è 53), altrimenti la soluzione sarebbe determinata (il 53 o un numero superiore non può essere moltiplicato per nessun altro numero intero maggiore di 1 senza superare il 100).
2) Il professor Somma sapeva, solo dalla somma dei due numeri, quanto detto sopra, quindi...
Possiamo escludere tutte le somme maggiori o uguali a 55 (tutti i numeri dal 55 al 197 sono vedibili come somma dei numeri primi 53 o 97 più un altro numero da 2 a 100, le somme 198, 199, 200 sono facilmente escludibili perchè le uniche coppie di numeri possibili sono identificabili dal prodotto).
Possiamo escludere tutte le somme che possono essere somme di due numeri primi, altrimenti il professor somma non avrebbe potuto essere sicuro che il collega non potesse identificare i numeri. Questo ci permette di escludere tutte le somme pari e tutte le somme dispari ottenibili da un numero primo più 2 (unico primo pari). Ci rimangono 11 somme possibili:
11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51 e 53, con "solo" 169 possibili coppie (tra le migliaia iniziali).
3) A questo punto il professor prodotto ha individuato il risultato, grazie alla sua informazione (lui il prodotto lo sa), questo significa che una sola coppia tra le 169 possibili è compatibile con il prodotto. Quindi possiamo escludere tutte le coppie il cui prodotto coincide con il prodotto di un altra coppia. Le coppie residue sono allora 102.
4) A questo punto anche il professor somma individua la soluzione, il che la fa individuare anche a noi (senza sapere la somma!). Infatti possiamo eliminare tutte le coppie che hanno una somma uguale ad un altra. tra le 11 possibili somme, prima individuate una sola ha mantenuto 1 sola possibile coppia di numeri (il 17, con prodotto 52 e numeri 4 e 13) Le altre non vanno bene (sono ad esempio 3 le coppie che danno come somma 27).

[Herbie 53]

io solo barzellette