Il 15 febbraio 1970 in Val Gardena, sulla pista del "Saslong", nell'ultimo giorno del campionato del mondo di sci alpino, fece sensazione partendo per quindicesimo e vincendo il titolo di discesa libera davanti all'austriaco Karl Cordin e all'australiano Malcolm Milne. Nel 1972 a Sapporo rivinse nella stessa disciplina laureandosi campione olimpico. La Svizzera celebrò un doppio successo, secondo fu infatti Roland Collombin.
Quattro anni dopo, nel 1976 a Innsbruck salì nuovamente sul podio olimpico, conquistando la medaglia d'argento dietro all'austriaco Franz Klammer.
È sposato con Mari Bergström, assieme alla quale ha avuto due figli, Ian (3 maggio 1980) e Jennifer (14 agosto 1992).
Dopo aver terminato la sua carriera di sciatore (1978) è stato tra le altre cose, consigliere della FIS e della Völkl. Ha lavorato per la televisione tedesca, disegnato le piste di discesa libera per diversi campionati del mondo e gliochi olimpici, ed è commentatore sportivo per la televisione svizzera.
Russi fu nominato sportivo dell'anno in Svizzera nel 1970 e nel 1972. Sempre nel 1972 ricevette i premi Skieur d'Or e Etoile d'Or. Nel 1999 è stato premiato con lo Skiing Legend Award.